保護者が知っておきたい図形の面積の公式一覧!年代別で面積の求め方を解説

初回公開日:2021年06月05日

更新日:2021年06月05日

記載されている内容は2021年06月05日時点のものです。現在の情報と異なる可能性がありますので、ご了承ください。

また、記事に記載されている情報は自己責任でご活用いただき、本記事の内容に関する事項については、専門家等に相談するようにしてください。

子供に算数や数学を教えるときに、昔習った公式を忘れてしまっていることはないでしょうか。本記事では、小学生〜高校生の保護者向けに面積の公式に特化して紹介します。この記事を読めば、基本的な公式はすぐ確認できますのでぜひご一読ください。

保護者が知っておきたい図形の面積の公式一覧!年代別で面積の求め方を解説

図形の種類

小学生、中学生、高校生で学習する図形の種類は、14種類になります。

大まかに分けると三角形、四角形、円、扇形、多角形になります。しかし三角形の中にも、正三角形、直角三角形、二等辺三角形等さまざまな種類があります。

図形の種類が多く、図形の面積の公式もその数だけあるように感じますが、そのようなことはなく、汎用的な公式も多いので基本的なことを理解することが重要です。

図形の面積の単位

図形の面積の単位は、馴染みのあるものでいうと「㎡」です。「m2」は「平方メートル」と読みますが、「平米」とも呼ばれ土地の面積を表す際によく出てきますので、物件を探している時などでよく見かけるのではないでしょうか。

また、㎡の他には、㎢(平方キロメートル)や㎠(平方センチメートル)も算数・数学においてはよく使われます。

このように面積を表す際は、長さの単位(m、cmなど)に2をつけて表されます。2をつけて平方〜(長さの単位)といいますが、平方とは「ある数を2度掛けたもの」という意味があります。

平方の他にも「a」(アール)という単位があります。1aとは10m×10mの四角形の面積を表し、1a=100㎡となります。

また、aを100倍したものを「ha」(ヘクタール)といいます。100m×100mを表し、1ha=10000㎡となります。

a、haに関しては、あまり馴染みが無いかも知れませんが、小学校の範囲に入っておりますので覚える必要があります。

小学生に教える図形の面積の公式9個

小学生の指導範囲における、図形の面積の公式は全部で9個あります。

文部科学省の指導要領によると、面積の単位などの指導は、小学4年生から開始されます。4年生では四角形のみですが、5年生では三角形、6年生では円が指導されます。

上記の図形の中でも、例えば四角形とひとくくりに言っても、正方形・長方形・平行四辺形等いくつかの図形に細分化されそれぞれに公式があります。

出典:小学校算数科における内容の移行|文部科学省
参照:https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387017_004.pdf

三角形

三角形の面積の公式をご紹介します。

公式の個数は、「底辺と高さが分かっている三角形」と「正三角形」の2個になります。三角形の公式は、小学5年生にて指導される内容となります。

出典:小学校算数科の内容の構成|文部科学省
参照:https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387017_004.pdf

1:底辺と高さが分かっている三角形

底辺と高さが分かっている三角形の面積の公式は下記の通りです。

面積=底辺×高さ÷2

底辺とは、三角形の中で高さを測るための基準となる辺のことをいいます。高さとは、底辺が含まれていない頂点に対して底辺から直角に引いた線をいいます。

2:正三角形

正三角形の面積の公式は、下記の通りです。

面積=(一辺)×(一辺)×0.43

正三角形とは、三角形の全ての辺の長さが等しい三角形のことをいいます。

こちらも三角形なので、「底辺×高さ÷2」で求められます。高さが分かっている場合は、この公式で問題無いですが、高さが分かっていない場合は、一辺×一辺×√3÷4という公式になります。しかし小学生では、まだ√(ルート)を指導しないため、√3÷4を近似値の0.43に置き換えます。

ついては、(一辺)×(一辺)×0.43の公式は、面積の正確な値ではなく近似値を求める公式となります。

四角形

四角形の面積の公式をご紹介します。

公式の個数は、多角形も合わせて6個になります。内訳は、正方形、長方形、平行四辺形、台形、ひし形、多角形です。

四角形の面積の求め方は、小学校学習指導要領によると小学4年生で指導される範囲になり、三角形よりも先に指導されます。

四角形は、「面積の求め方」という範囲において、最初に指導される内容となりますので、面積の求め方をこれから指導されるに当たって基礎になると言えるでしょう。そのため四角形の公式はしっかりと理解し覚えさせる必要があります。

出典:小学校算数科の内容の構成|文部科学省
参照:https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387017_004.pdf

3:正方形

正方形の公式は、下記の通りです。

面積=一辺×一辺

正方形とは、全ての辺の長さが等しい四角形のことをいいます。また、全ての角が直角になっていることも特徴です。

上記の式の他に、下記の求め方もあります。こちらは、一辺の長さが分かっておらず対角線の長さのみ分かっている場合に利用します。

面積=対角線×対角線÷2

上記2つの公式どちらも重要となります。

4:長方形

長方形の面積の公式は、下記の通りです。

面積=たて×横

長方形とは、「全ての角が直角になっている四角形」のことをいいます。全ての角が直角な四角形という定義なので、正方形も長方形に属されます。

公式としては正方形と似ておりますが、長方形の場合は、たてと横の辺の長さが違うため、上記の公式となります。

5:平行四辺形

平行四辺形の公式は下記の通りです。

面積=底辺×高さ

平行四辺形とは、「2組の向かい合っている辺が平行になっている」四角形いいます。簡単にいうと、たて同士、横同士の辺が、平行になっている四角形です。

「2組の向かい合っている辺が平行」な四角形という定義のため、図形の性質上、平行四辺形には長方形・正方形も含まれます。

6:台形

台形の図形面積の公式は下記の通りです。

面積=(上底+下底)× 高さ ÷ 2

台形とは、「1組の向かい合う辺が平行になっている」四角形のことをいいます。そのため、正方形、長方形、平行四辺形も台形に含まれます。

公式は少し難しいですが、台形を2つの三角形に分けそれぞれの面積を足し合わせたものと考えることで理解しやすいです。式に表すと下記の式となります。

(上底×高さ÷2)+(下底×高さ÷2)=(上底+下底)×高さ÷2

7:ひし形

ひし形の面積の公式は下記の通りです。

面積=対角線の長さ×対角線の長さ÷2

ひし形とは、「全ての辺の長さが等しい」四角形のことをいいます。この定義だけを見ると正方形と混同しやすいかも知れませんが、正方形との違いは、角度にあります。

ひし形の定義に角度は含まれませんが、正方形は、全ての角度が直角であることが条件となります。上記の定義のため、ひし形は平行四辺形に含まれ、長方形・正方形にもなり得ます。

8:多角形

正多角形の面積の公式について、まずは正五角形の場合は下記となります。

面積=(一辺×高さ÷2)×5

正多角形とは、「全ての辺の長さと全ての角の大きさが等しい」多角形のことをいいます。そのため、正三角形や正方形も正多角形に含まれます。

上記の公式の一辺とは多角形の辺のことで、高さとは、一辺と角から中心に伸ばした線でできる三角形の高さを指します。つまり、上記の公式は、一辺と角から中心に伸ばした三角形を作り、その面積を求めて、多角形内にできる三角形の個数分足し合わせる計算方法です。

六角形の場合、辺の数は6本となるので、三角形を6個に分けて計算します。このように、正多角形の面積は、それぞれの辺を1つの三角形の底辺とし、角から中心に伸びる線を高さとして計算します。

正多角形の角から中心に伸びる線の長さが分かっていない場合の公式は、小学生の指導範囲では無いため、上記の公式のようにいくつかの三角形に分けて、面積を求めるという考え方を理解することが重要です。

円の面積の求め方を紹介します。

円の面積の公式は、小学6年生の指導範囲となります。公式の中に円周率が入り、小数点の計算も必要になるため、四角形や三角形よりも難しくなります。

まずは公式を理解し、しっかりと記憶させることが重要です。

出典:【算数編】小学生学習指導要領(平成29年告示)解説|文部科学省
参照:https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387017_004.pdf

9:半径が分かっている円

半径が分かっている円の公式は下記の通りです。

面積=半径×半径×3.14

上記の公式を解説します。そのために、まずは円周率から理解する必要があります。円周率とは直径を円周で割ったもの(円周率=円周÷直径)をいいます。円周率の公式は、「全ての円は、直径と円周の比が一定である」という定理から定められた公式です。

円周÷直径は、全ての円で同じ値で、3.1415・・・・と続くため、小学生の指導範囲では3.14と定められています。

円周率の考え方を前提において、半径が分かっている円の公式を紐解きます。円周のある1点から中心に対して等間隔に何本も切り込みをいれ、円周を底辺、円の中心を頂点とした三角形を作ります。この三角形の面積が円の面積となり、三角形の底辺=円周、高さ=半径となります。

三角形の公式は、底辺×高さ÷2ですが、円の半径(三角形の高さ)しか分かっていない状態です。ついては、底辺を求める必要がありますので、ここで円周率を使います。円周率=円周÷直径なので円周=直径×円周率が導けます。

直径×円周率=円周=三角形の底辺となり、直径は半径×2で表せますので、三角形の公式に当てはめると下記の通りになります。

円を切り開いた三角形の面積=半径×2×円周率×半径÷2=半径×半径×円周率

円の面積の求め方は、難しいですが、上記の通り説明ができます。小学生の算数においては、つまずきやすい内容となりますので、しっかりとした理解が必要です。

中学生に教える図形の面積の公式4個

中学生の指導範囲における、図形面積の公式のうち4個をご紹介します。

文部科学省の指導要領によると、扇形の求め方及錐体、球体の表面積・体積を中学1年生、三平方の定理を中学3年生で指導されます。

小学生の算数ではなく中学では「数学」に代わり、算数と比べると難易度が上がり苦手意識を持ちやすい科目になります。そのため、しっかりと理解した上で記憶させることが重要です。

出典:【数学編】中学校学習指導要領(平成29年告示)解説|文部科学省
参照:https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387018_004.pdf

三角形

中学生においての三角形の面積の公式をご紹介します。

小学生で指導される公式とは違い、定理を用いて面積を求めます。√や二乗なども出てくるため、つまずきやすいポイントです。

1:三平方の定理を利用する

三平方の定理を利用した、直角三角形の面積の公式は下記の通りです。

直角三角形の底辺をa、斜辺をcとした場合



こちらの公式について、まず三平方の定理から解説します。三平方の定理とは、直角三角形の底辺をa、高さをb、斜辺をcとした場合に下記の式が成り立つ定理です。



三平方の定理より下記が求められます。



bは高さなので、三平方の定理を利用した上記公式は、底辺×高さ÷2をしているのと同じことになります。

円と記載がありますが、扇形の面積の公式をご紹介します。

扇形の面積の前に中学における円の面積の公式を理解する必要があります。中学生での円の公式は下記の通りになります。



rは半径、πは円周率を表します。したがって、上記の公式は半径×半径×円周率を表したものですが、πを使う意味があります。

小学生のうちは、円周率=3.14と定義付けられますが、本来円周率は3.14ではなく3.1415926535・・・・・と続きます。そのため、小学生で指導される面積は、近似値となり実際の面積とは異なる値です。

そのため、πを使うことによって近似値ではなく正確な面積となります。

2:扇形

扇形の面積の公式は下記の通りです。扇形の角度をxとした場合



こちらは、円の面積に、円における扇形の角度分の割合をかけている計算式になります。

扇形とは、円の中の2本の半径と孤によって成り立つ図形のことをいいます。また、扇形の面積の公式はもう1つあり、それは下記の通りです。

半径をr、孤をlとした場合、



上記公式は半径rと孤の長さlが分かっている場合の公式となります。

立体の表面積

こちらでは立体の表面積をご紹介します。

表面積とは立体の表面の面積のことをいいます。中学校における立体の表面積の指導では、通常立方体や長方体から入りますが、こちらでは錐体と球体の公式をご紹介します。

3:錐体

錐体の中でも四錐体と円錐の表面積の公式をご紹介します。

四錐体の表面積は下記の通りです。

高さがh、底面の2辺の長さがa、bの長方形の場合



円錐の表面積は下記の通りです。半径がr、高さがh、母線の長さをlとした場合

4:球体

球体の表面積の公式は下記の通りです。



球体の半径をrとし、円周率はπで表しています。

上記した球体の表面積の求め方の証明は、高校生で指導される積分が必要になります。そのため中学数学においては、記憶させるしかないと言えます。

高校生に教える図形の面積の公式7個

高校生の指導範囲における図形の面積の公式を7個ご紹介します。

数Ⅰ、数Ⅱや数A、数B等数学の中でもカテゴリ分けされ、かなり難易度も上がります。そのため、中学の時よりも得意不得意がはっきりと分かれやすくなりますが、面積の公式はしっかりと暗記させるよう心掛けましょう。

三角形

高校生の指導範囲における、三角形の面積の公式をご紹介します。

高校数学で、図形については、数Ⅰ、数Ⅱの範囲となります。三角関数やヘロンの公式といった新しい公式も多く、より高度な計算が指導範囲に入ってきます。中学よりもレベルが上がり、理解し覚えることも難しくなります。

また、数Ⅱの図形と方程式の範囲では、中学時代にグラフでよく使っていた座標上で平面図形を扱うなど高度化します。

1:3辺の長さが分かっている三角形・ヘロンの公式

3辺の長さが分かっている三角形を求める際に用いるヘロンの公式は下記の通りです。

3辺の長さを、a、b、cとした場合



( ただし、

3辺の長さをa、b、cに代入すれば面積が求められます。例えば、3辺の長さが4、3、3だった場合下記の通りです。





このように三角形の3辺が分かっている場合、高さがわからなくてもヘロンの公式を用いて求めることができます。

2:2辺とその間の角が分かっている三角形・三角関数

2辺とその間の角が分かっている場合の三角形は、三角関数を用いて下記の通り求められます。

三角形の角をA、B、Cとし、辺をa、b、cとした場合



こちらは高校数学の公式の中でもヘロンの公式と並び基本的な公式となりますので、しっかり理解させましょう。

3:内接円の半径が分かっている三角形

内接円の半径が分かっている三角形の面積の公式は、下記の通りです。

内接円の半径をr、三角形の3辺をa、b、cとした場合



内接円とは、三角形の3辺に接している円のことをいいます。内接円の中心は内心といいます。

4:外接円の半径が分かっている三角形

外接円の半径が分かっている三角形の面積の公式は、下記の通りです。



外接円とは、三角形の3つ全ての頂点を通る円のことをいいます。その円の中心は外円といいます。計算した後、誤りがないか確認する検算にも使える公式のため、覚えておくとテストや受験で便利です。

多角形

多角形の面積の公式をご紹介します。

小学生の指導範囲でも、多角形の面積の求め方はありました。しかし小学生の時は、多角形をいくつかの三角形にわけて計算するため、角から中心に伸びる線の長さが分かっていないと求められませんでした。

高校生の指導範囲では、三角関数を用いた公式があります。

5:三角関数を利用する

三角関数を利用した正多角形の面積の公式は、下記の通りです。

正n角形の1辺の長さをaとした場合



正多角形の公式は、もちろん正三角形・正四角形にも当てはまります。正三角形、正四角形を上記公式で計算した場合は、下記になります。

正三角形の面積=

正方形の面積=

高校の指導範囲における円の面積の公式を紹介します。

こちらでは高校で学習する範囲の円環と楕円の面積の求め方を紹介します。小学生、中学の指導範囲の円や扇形と違い、座標の上での図形を考える必要があり、長さからのみ計算する図形面積より一層難しくなります。

6:円環

円環の面積の求め方は下記の通りです。

円環の中心から外側の円での半径をR、内側の円の半径をrとした場合



円環とは、ドーナツ形とも呼ばれ、中心が同じ大きさの異なる円によってできた図形をいいます。

7:楕円

楕円の面積の求め方は下記の通りです。

座標において、x軸にa,-a、y軸にb,-bという点がありそれを結んだ楕円の面積をで表される場合、公式となります。



楕円とはなんとなく理解されている人も多いかも知れませんが、数学的に定義があります。楕円とは、座標において「2点からの距離の和が等しい点の集合」です。

図形の面積を求める際の応用方法

平面図形の面積を求める際の応用方法をご紹介します。

平面図形や表面積を求める問題を解く際に、問題の面積をそのまま解こうとしても解けない図形があります。また、面積・表面積を学習していくにあたり、体積についても意識し、表面積と体積の関係性や違いを理解する必要があります。

上記の2点について、コツやポイントをご紹介します。

補助線の使い方

図形の面積を求める際の補助線の引き方についてご紹介します。

まず補助線とは、図形の面積問題で、与えられた図形にはないが解を出すために便宜的に加える線のことをいいます。この補助線を引くにあたってのポイントは3点です。

第一に、(円や扇形の場合)図形の中心を捉えた線をひくことです。円や扇形、多角形の場合に意識するべき方法で、中心から孤や辺までの長さが等しいため、二等辺三角形が作られます。

第二に、与えられた図形の辺と平行(もしくは垂直)に線をひくこと、第三に与えられた図形の辺を伸ばしてみるということです。こちらは角度や図形の面積比を考える際に用います。

テストにおいては、補助線を使用し図形の面積の比や1図形だけでなく補助線で2個目の図形を作成しないと解けない難問があります。このような問題によって点数に差が出るので、補助線はうまく使えるようにしましょう。

体積も意識させる

面積の学習時に体積も意識させる必要があります。

小学生では、面積の学習のあと、体積が始まります。体積は、面積に比べて理解に時間がかかる可能性が高いです。

体積の学習において、面積を理解していることが前提となりますが、面積の理解をしていても、体積を理解できない場合があります。例えば直方体であれば底面積×高さですが、「底面」を捉えられないことがあります。

このように面積の学習からそのまま体積の学習に移って、理解できない場合があるので、面積の学習の時から積み木や立体模型等を触らせながら、指導し意識させておくことが重要です。

図形の面積の公式はしっかり覚えさせよう

図形の面積の公式は、小学校〜高校までの指導範囲で数えると、本記事で記載したものだけでも20個あります。こちらは、全て指導される年代ごとにしっかりと覚えさせておくことをおすすめします。

図形の面積の求め方として公式をただ暗記させるような形式的な指導ではなく、なぜその公式になるのかというところまで理解させることは、重要です。

しかし、1つ1つの問題を解いていくにあたり、図形の面積求め方を導き出すことはできませんので、保護者の方も図形の公式を覚えておき、子供に質問されたときにいつでも公式を思い出せるようにしておくと良いでしょう。

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